Утверждения не несовместимы, хотя они описывают довольно причудливый круг шахматистов. Следовательно, в этой интерпретации, формальная система, в которой эти три цепочки символов являются теоремами, внутренне последовательна, хотя, фактически, ни одно из этих утверждений не является истинным! Но внутренняя последовательность не требует, чтобы все теоремы получились истинными. Просто они должны быть совместимы друг с другом.

Теперь предположите вместо этого, что ' x b y' надо интерпретировать, как "х был изобретен у" Тогад мы имели бы:

В этом случае не имеет значения, является ли каждое отдельно взятое утверждение истинным или нет. Возможно, нет никакого способа узнать какое из них ложно, а какое- правда. Но в чем можно быть, однако, уверенным, это в том, что не все они могут быть истинными одновременно. Таким образом, эта интерпретация делает систему внутренне противоречивой. Эта противоречивость зависит не от интерпретации этих трех заглавных букв, но от интерпретации символа b и из факта, что эти три литерала циклически переставлены вокруг связки b. Таким образом, можно обнаружить внутреннюю противоречивость, не интерпретируя все символы формальной системы (в данном случае достаточно было интерпретировать один единственный символ). К тому моменту, когда достаточно много символов уже получили интерпретацию, может выясниться, что нет никакого способа, которым бы остальная часть символов могла бы быть интерпретирована так, чтобы все теоремы получились истинными. Но это не только вопрос истины и лжи - это вопрос возможностей. Все три теоремы вышли бы ложными, если заглавные буквы интерпретировались бы как названия реальных людей. Но не в этом причина, почему мы назвали систему внутренне противоречивой. Основанием для этого были циклическая зависимость символа b при такой интерпретации (Кстати, вы найдете больше об этом треугольнике авторов в главе XX).

Гипотетические миры и противоречивость

Мы показали два способа смотреть на последовательность (непротиворечивость): первый говорит что "система плюс интерпретация" согласуется с внешним миром, если каждая теорема получается истинной при интерпретации. Второй способ говорит, что "система плюс интерпретация" является внутренне последовательной, если все теоремы получаться взаимно совместимыми при интерпретации. Имеется близкая связь между этими двумя типами последовательностей. Чтобы определить являются ли некоторые высказывания взаимно-совместимыми, вы пробуете представить себе мир, в котором все они могут быть одновременно истинными. Поэтому внутренняя непротиворечивость зависит от непротиворечивости с внешним миром только теперь "внешнему миру" позволено быть любым воображаемым миром, вместо того, в котором мы живем. Но это чрезвычайно неопределенное и неудовлетворительное решение вопроса. Что представляют собой "воображаемые миры"? В конце концов, можно вообразить миры, в которых три персонажа циклически изобретают друг друга. Или нет? Возможно ли, изобрести мир, в котором имеются квадратные круги? Можно ли вообразить мир, в котором правят законы механики Ньютона, а не относительность? Возможно ли вообразить мир в котором зеленое одновременно может быть не зеленым? Или мир, в котором животные состоят не из клеток? Представим ли мир, в котором Бах импровизирует фугу с восемью частями на тему короля Фридриха Великого? А мир, в котором москиты являются более умными, чем люди?
Можно ли представить мир, в котором черепахи могут играть фуги или разговаривать?!
Черепаха, играющая в футбол, это было бы слишком, конечно…

Некоторые из этих миров кажутся более реалистичными чем другие, в то время как некоторые, кажется, воплощают в себе логические противоречия. Например, зеленый и не зеленый. В то время как некоторые кажутся (не имея лучшего слова) "вероятными". Типа того мира, где Бах импровизирует фуги из восьми частей или мир где животные не состоят из клеток. Или даже, задумайтесь об этом, мир, в котором законы физики должны быть другими. Грубо говоря, тогда должна установиться другие стандарты непротиворечивости. Например, наиболее мягкой была бы "логическая последовательность", которая не накладывала бы на объекты никаких ограничений, кроме логических. Более точно: "система плюс интерпретация" была бы логически последовательны для нас, до тех пор, пока любая из двух ее теорем не противоречат друг другу при интерпретации, математически последовательны до тех пор, пока интерпретируемые теоремы не нарушают математику, физически последовательны пока интерпретируемые теоремы совместимы с законами физики. За этим следуют биологическая непротиворечивость и так далее. В биологически последовательной системе имелись бы теорема, чья интерпретация гласила бы "Шекспир написал оперу" но не содержала бы никакой теоремы, интерпретация которой гласила: "существуют животные меньше клетки". Вообще говоря, такого рода фантастическая противоречивость не изучаются по причине невообразимой хитросплетенности уровней утверждений. Какая противоречивость, например, можно сказать, возникает в проблеме трех персонажей, где неясно кто кого изобретает?
Логическая? Физическая? Биологическая? Литературная?
Обычно граница между интересной и неинтересной областью пролегают между физической и математической непротиворечивостью (конечно, математики и логики, которые ее проводят, вряд ли беспристрастная судейская команда….) Это значит, что виды противоречий, которые "учитываются" для формальных систем, являться только логического и математического типа. Но и по этому соглашению мы все же нашли интерпретацию, которая делает трио теорем TbZ, ZbE, EbT противоречивым. Мы можем делать такую интерпретацию для b : "является больше чем". Что можно сказать в отношении T, Z и E? Они могут интерпретироваться как натуральные числа, например Z как 0, T как 2 и E как 11. Заметьте, что две теоремы получаться в этом случае истинными, а одна - ложная. Если бы мы вместо этого интерпретировали Z как 3, то мы имели бы два ложных высказывания и только одно истинное. Но в любом случае мы имели бы противоречие. Фактически, значения, присвоенные T, Z и E неприменимы (нерелевантные) пока мы подразумеваем под ними только натуральные числа. В очередной раз мы видим, что необходима только часть интерпретации, чтобы признать внутреннюю противоречивость.

Одна формальная система внутри другой

В предыдущем примере некоторые символы могли иметь интерпретацию, в то время как другие не имели. Это напоминает нам об описании геометрии на естественном языке с использованием некоторых слов как неопределенных терминов. В таком случае все слова разделяются на два класса: те, чье значение установлено и неизменно и те, которые должны быть уточнены для выяснения непротиворечивости системы (они - неопределенные термины). Построение геометрии таким способом требует, чтобы смысл терминов был уже установлен на более высоком уровне где-то за пределами геометрии. Эти слова составляют жесткий скелет, образуют основной каркас системы, который потом заполняется другим материалом и который можно, при желании, заменить (Евклидова или неэвклидова геометрия).

Формальные системы часто выстраиваются именно в такой иерархической или упорядоченной манере. Например, Формальная Система I могла бы быть выстроена с правилами и аксиомами, которые дают уверенность предполагать пассивное значение ее символов. Теперь, допустим Формальная, Система I. включается полностью в бол'ьшую систему, систему с бол'ьшим количеством символов - Формальную систему II. Тогда правила и аксиомы Формальной Системы I являются частью правил и аксиом Формальной системы II. Пассивное значение символов Формальной Системы I остается действительными, остаются ее формой и неизменным скелетом, который играет большую роль в определении пассивного смысла (значения) новых символов в Формальной Системе II. Вторая система, в свою очередь, может служить скелетом третьей системе и так далее. Это вполне возможно и геометрия - хороший этому пример. Иметься система (та же, Абсолютная геометрия) которая частично выявляет пассивное значение неопределенных терминов, а некоторые другие могут быть добавлены дополнительными правилами и аксиомами, которые в дальнейшем ограничивают пассивные значения неопределенных терминов. Все происходит так, как происходит с евклидовой и неэвклидовой геометрией.

Фрагменты стабильности в визуальном пространстве

Подобным иерархическим способом мы приобретаем новые знания, новые слова, ощущаем, что объект нам незнаком. Это особенно интересно в случае восприятия рисунков Эшера, типа Относительности (рис 22), внутри которых находятся невозможные объекты. Вы можете представить как мы делаем самые разные интерпретации, давая иное толкование картине раз за разом, пока не найдем интерпретацию всех ее частей, свободную от взаимных противоречий. Но наши попытки бесплодны. Мы смотрим на это озадаченные и удивленные. Мы озадаченны лестницами, по каждой из которых движутся люди в направлении, противоречащих каждой отдельно взятой лестнице. Эти лестницы -"острова уверенности" на которых мы базируем нашу интерпретацию полной картины. Однажды идентифицировав такой остров, мы пробуем расширить наше понимание, пытаясь установить отношения, в которых они находятся друг к другу. Но в этих попытках мы сталкиваются с неприятностью. Если мы сделаем попытку отступить, то есть подвергнуть сомнению "острова уверенности", то мы так же столкнемся с неприятностью, но другого рода. Нет никакого способа ухватиться за задний плана, и причина этого они же - лестницы. Они не рыба, не плеть не ладонь - они всего лишь лестницы. ( Имеется еще одна возможность - оставить все линии на картине полностью не интерпретированными подобно "бессмысленным символам" формальной системы. Этот единственный спасительный путь и является примером U-способа. Зен-подходом к символам)

Рис. 22 Относительность, М. C. Escher (lithograph, 1953).

В итоге мы вынуждены по иерархическому характеру нашего процесса мышления видеть или сумасшедший мир или только сплетение бессмысленных линий. Подобный анализ можно было бы сделать для многих картин Эшера, которые опираются на представления некоторых основных форм, расположенных нестандартным образом и наблюдатель видит парадокс на высоком уровне. Но отступать уже слишком поздно. Он не может вернуться и изменить свое мнение относительно того, как интерпретировать объекты низшего уровня. Различие между рисунками Эшера и неэвклидовой геометрией то, что в геометрии разумная интерпретация может быть найдена для неопределенных терминов в результате постижения всей системы, в то время, как для творений Эшера окончательный вывод не совместим ни с какой возможной реальностью, независимо от того как долго каждый будет смотреть на картину. Конечно, можно все еще выдумывать фантастические миры в которых Эшеровские трюки могут происходить. . . Но в таких мирах законы биологии, физики, математики или даже логики будут нарушены на одном уровне в то время как на другом они продолжают спокойно исполняться, что придает этим мирам крайнюю сверхъестественность (Пример этого - Водопад (рис5) , где нормальное тяготение действует на перемещение воды, но природа пространства нарушена)

Одинакова ли математика в любом из мыслимых миров?

Только что мы подчеркнули изложенный выше факт, что внутренняя непротиворечивость формальной системы (вместе с интерпретацией) требует чтобы имелся некоторый вообразимый мир где это возможно, то есть мир, ограниченный только тем, что математика и логика в нем такие же самые, как и в нашем мире. В таком мире все интерпретируемые теоремы должны быть истинными. Внешняя непротиворечивость, однако (последовательность с внешним миром) требует, чтобы все теоремы вышли истинными в реальном мире. В особом случае, когда есть желание выстроить последовательную систему, чьи теоремы должны интерпретироваться только как утверждения математики, то казалась бы, что различие между двумя типами последовательности должны исчезнуть. С этого момента, согласно тому, что мы сказали, все воображаемые миры имеют ту же математику что и реальный мир. В каждом мыслимом мире 1 плюс 1 должно равняться 2, аналогично должно иметься бесконечное число простых чисел. Кроме того, в каждом из мыслимых миров, прямые углы должны совпадать, и конечно через любую точку не на данной линии можно провести одну и только одну параллельную линию...
Но минуточку! Но это же постулат о параллельных и утверждать, что он универсален было бы ошибкой в связи с тем, что мы уже знаем. Если все воображаемые миры повинуются постулату о параллельных, то тем самым мы утверждаем что неэвклидова геометрия невозможна. Это возвращает нас назад, к тем же представлениям что исповедовали Сакчери и Ламберт. Это неблагоразумно. Но что же получается? Не вся математика одинакова в любом из мыслимых миров? А может под подозрением и сама логика? Представимы ли миры, где противоречия - норма существования? Миры, где противоречие- не противоречия?
Хорошо. В некотором смысле, просто фантазируя, мы показали что такие миры являются действительно мыслимыми, но в более глубоком смысле они все же очень невообразимы ( это само по себе небольшое противоречие). Весьма важным, однако, представляется следующее: если мы хотим иметь возможность связать воедино все в нашем воображаемом мире, мы должны принять некоторую общую основу и это должно изрядно включать логику. (Имеются системы вероисповедания, которые отклоняют такую точку зрения, пологая ее слишком логической. В частности, Зен включает в себя как противоречия, так и непротиворечивые факты в равной мере. Это может казаться непоследовательным (противоречивым), но если непоследовательность тоже часть вероисповедания, то что можно еще возразить?)

Является ли теория чисел одной и той же во всех мыслимых мирах?

Если мы предполагаем что логика должна быть неотъемлемой частью любого воображаемого нами мира (и обратите внимания, мы не имеем в виду какую-то двойную логику, но в следующих главах мы встретим и это) то что из этого? Действительно ли можно представить, что в некоторых из миров нет бесконечного числа простых чисел? Кажется ли столь необходимыми, чтобы числа повиновались одним и тем же законам во всех мыслимых мирах? Или о концепции "натуральное число" лучше думать как о неопределенном термине подобно "ТОЧКА" или "ПРЯМАЯ"? В этом случае теория чисел была бы бифуркационной (разветвляющейся) теорией . Подобно геометрии имелись бы стандартные и нестандартные теории чисел. Но тогда должен был бы существовать некий аналог абсолютной геометрии: "базовая" теория, инвариантный компонент всех теорий чисел, которая бы идентифицировала бы каждую теорию как теорию чисел в большей степени, чем скажем теорию бананов или каучука. В настоящий момент, кажется, достигнуто согласие современных математиков и философов, что имеется такая теория чисел, которую наряду с логикой нужно бы включить в то, что мы подразумеваем под "мыслимыми мирами". Это ядро теории чисел, аналогия абсолютной геометрии, называется арифметикой Пеано (Peano) и мы формализуем ее в главе VIII. Так же ( это теперь хорошо установлено как следствие теоремы Геделя) теория чисел действительно является бифуркационной теорией со стандартными и нестандартными версиями. Но в отличии от ситуации в геометрии, число "типов" теорий чисел бесконечно, что делает ситуации значительно сложнее.

Для практического использования все теории чисел - одинаковые. Другими словами, если бы строительство моста зависело от теории чисел (что в некотором смысле так и есть), то факт, что имеются различные теории чисел, не имел бы значения, так как аспекты относящиеся к реальному миру во всех теориях чисел совпадают друг с другом. Нельзя сказать того же самого относительно различных геометрий. Например, сумма углов треугольника 180 градусов только в Евклидовой геометрии, но она больше в эллиптической геометрии и меньше в гиперболической. Известно, что однажды Гаусс попытался измерить сумму углов в большом треугольнике, между тремя вершинами гор чтобы раз и на всегда определить какого вида геометрия в действительности царит в нашей вселенной. Спустя сто лет Эйнштейн создал Общую Теорию Относительности, которая утверждала, что геометрия вселенной определяется содержащейся в ней материей. Так что никакая конкретно геометрия не свойственна пространству непосредственно. На вопрос "Какая геометрия является истинной?" природа дает неоднозначный ответ не только в математике, но и в физике. Что же касается вопроса "Какая теория чисел является истинной?" то мы сможем об этом говорить больше, после прохождения Теоремы Геделя подробно.

Полнота

Если последовательность или непротиворечивость -минимальное условие при котором символы приобретают пассивный смысл, то дополняющим его понятием является полнота, которая является полным и окончательным подтверждением пассивного смысла символов. Если непротиворечивость - это свойство того, что "все что производится системой истинно", то полнота говорит о другом: "каждое истинное утверждение производится внутри системы"
Поясним эти понятия. Мы не подразумеваем (и не можем подразумевать) каждое истинное утверждение в мире. Мы подразумеваем только те, которые принадлежат области, которую пытаемся представить в системе. Поэтому полнота означает:

"Каждое истинное утверждение, которое может быть выражено некоторой записью с помощью символов системы – теорема системы".

Непротиворечивость: когда каждая теорема при интерпретации оказывается истинной (в некотором воображаемом мире)

Полнота: когда все утверждения, которые являются истинными (в некотором воображаемом мире) могут быть выражены в виде цепочек символов системы и являются теоремами.

Пример формальной системы, которая является полной на скромном уровне - первоначальная pq-система с первоначальной интерпретацией. Все истинные утверждения о суммах двух положительных целых чисел представлены теоремами системы. Мы могли бы сказать это по-другому: "Истинность всех утверждений о значении суммы двух положительных целых чисел мы доказываем в пределах системы". (Внимание! Когда мы начинаем использовать термин "доказываемое утверждение" вместо "теорема", это показывает, что мы начинаем стирать различие межу формальной системой и ее интерпретацией. Это нормально, если мы хорошо осознаем туманность термина, и при условии, что мы понимаем, что иногда возможны разные интерпретации). Pq-система в первоначальной интерпретации полна. Она так же непротиворечива (последовательна), так как никакое ложное утверждение (используя нашу новую фразу) не доказуемо в пределах системы.
Кто-то мог бы утверждать, что эта система, мол, не полна на основании того, что сумма трех положительных целых чисел (типа 2+3+4 =9) не представляется теоремами pq-системы, хотя она представима в нотации системы (например: _ _ p _ _ _ p _ _ _ _ q _ _ _ _ _ _ _ _ _). Однако эта цепочка неправильно построена и следовательно должна рассматриваться как абсолютно бессмысленная настолько, насколько бессмысленна цепочка _ pqp _ _ _ qpq . Тройная сумма просто не выражается в нотации системы, так что полнота системы сохраняется.
Несмотря на полноту pq-системы в этой интерпретации, она, конечно, слишком далека от окончательного завоевания всей истины в теории чисел. Например, не имеется никакого способа, каким бы pq-система сообщила нам, сколько существует простых чисел. Теорема Геделя о неполноте говорит, что любая система, которая является "достаточно мощной", именно из за своей мощи является неполной. Это значит, что там есть правильно построенные цепочки, которые выражают истинные утверждения теории чисел, но которые не являются теоремами ( имеются истины в теории чисел, которые не доказуемы в пределах системы). Системы, подобные pq-системе, являются полными, но не очень мощными. Они что-то наподобие фонографов с низким качеством звучания. Эти системы настолько бедны изначально, что становиться очевидным: они не могут нас удовлетворить, они не могут сообщить нам все, что мы хотели бы знать относительно теории чисел.

Как интерпретация разрушает или восстанавливает полноту

Что я имел в виду, когда говорил, что "полнота это полное и окончательное подтверждение пассивного смысла"? Это означает, что если система построена, но она неполна, то имеется несоответствие между символами и их интерпретацией. Система не имеет мощности оправдать себя, будучи интерпретирована таким образом. Иногда, если интерпретация немного "урезана", система может стать полной. Чтобы иллюстрировать эту идею, давайте посмотрим на измененную pq-систему (использующую вторую схему аксиом) и ее новую интерпретацию, которую мы применили для нее.
После изменения pq-системы мы изменили и интерпретацию для q с "равняется" на "больше чем или ровно". Мы видим, что измененная pq-система была последовательна в такой интерпретации и все же что-то здесь не так. Проблема проста: имеется теперь много выраженных в нотации системы истин, которые оказываются не теоремами. Например "2 плюс 3 больше чем или равно 1" выражено не теоремой _ _ p _ _ _ q _ . Интерпретация слишком свободная! Она не очень аккуратно отображает то, что теоремы делают в системе. В такой широкой интерпретации pq-система неполна. Мы могли бы восстановить ситуацию или (1) добавлением новые правил к системе, делая ее более мощной или (2) сузив интерпретацию. В этом смысле разумным кажется выбрать второй путь - ужать интерпретацию. Вместо интерпретации q "больше чем или равно". Мы должны использовать "равняется или больше на 1". Теперь система становиться и последовательной и полной. И полнота подтверждает справедливость (уместность) интерпретации.

Неполнота формальной теории чисел

В теории чисел мы столкнемся с неполнотой снова. Но там, чтобы исправить ситуацию, нас будут влечь в другую сторону - к добавлению новых правил, то есть мы будем стремиться сделать систему еще более мощной. Ирония в том, что всякий раз, когда мы добавляем новые правила, мы думаем, что вот теперь уже мы сделаем систему полной. И характер данного безвыходного положения можно иллюстрировать следующей аллегорией. . .
Вы имеете проигрыватель и имеете грамзапись, которая, в порядке рабочей гипотезы, помечена как "Канон B-A-C-H". Однако, когда мы играем эту грамзапись на проигрывателе, вынужденные обратной связью колебания (как это случалось с записями Черепахи) вмешиваются настолько сильно, что мы не можем уловить на фоне этих помех мелодию. Тогда мы приходим к заключению, что что-то из двух дефектное. Или наша грамзапись или наш проигрыватель. Что бы проверить нашу грамзапись, мы должны прослушать ее на проигрывателе друзей и услышать качество звучания. Чтобы проверить проигрыватель, мы должны поставить на него какую-либо грамзаписи друзей и убедиться соответствует ли звучание тому, что написано на этикетке. Если наш проигрыватель пройдет это испытание, то мы скажем, что грамзапись дефектна. Наоборот, если грамзапись пройдет испытание, то мы скажем, что проигрыватель дефектный. Но что мы можем сказать, если оба пройдут соответствующие испытания? В этом случае стоит вспомнить цепь двух изоморфизмов (рис. 20) и тщательно думать!

Вопросы? Предложения? Претензии?
Обсудить материал в моем ЖЖ