ФИГУРА 18 Здесь визуально, в символической форме, показано отношение между различными классами цепочек TNT. Самая большая рамка представляет множество всех цепочек составленных из алфавита TNT. Следующая вложенная в нее рамка - множество всех правильно построенных цепочек TNT. В пределах этого пространства и находится множество всех высказываний TNT. Теперь начинается самое интересное. Множество теорем изображено как крона дерева, растущая из ствола (представляющего набор аксиом). Дерево как символ было выбрано из-за сходства процесса роста с рекурсией, которым возникают новые теоремы: новые ветви (теоремы), постоянно вырастают их старых. Отпочковывающиеся ростки дерева проникают во все уголки ограниченного рамкой пространства, формируя тем самым множество истин, но не могут заполнить пространство полностью. Граница между множеством истин и множеством ложных утверждений, как предполагается, представляет собой бесконечно ветвящийся фрактал, который, независимо от того, как глубоко вы исследуете его, всегда имеет более тонкие уровни ветвления и излома, следовательно, границу невозможно точно определить любым конечным способом (См. книгу Манделброта "Фракталы".) Зеркальное дерево представляет множество отрицательных теорем. Все они ложные, но его ветви все же неспособны охватить все ложные высказывания. Они не охватывают все пространство ложных утверждений. [Рисунок автора.]

Фигура и фон в музыке

Можно так же найти фигуру и фон в музыке. Один пример - различие между мелодией и сопровождением. К мелодии всегда приковано наше внимания, а сопровождение в некотором смысле ей только помогает. Поэтому мы удивлены, когда находим на заднем плане партии основную мелодию. Это редко бывает в поп-музыке. Обычно о сопровождении не думают как о переднем плане. Но в музыке барокко, особенно в музыке Баха, часто различные линии исполнения либо выступают вперед, либо отступают назад, подобно фигуре и фону постоянно меняются местами. В этом смысли партитуры Баха можно назвать "рекурсивными".
Другая аналогия дихотомии фигура-фон в музыке - это разделение музыке на главную тональность и синкопу. Если вы будете считаете тона как "основной, пол-тона, треть-тона, четверь-тона" то обычно ноты соответствуют порядку тональностей. Но иногда мелодия бывает преднамеренно сдвинута на одну тональность, чтобы явно ее выделить. Это происходит, например, в некоторых этюдах для фортепиано Шопена. Такой же прием широко используется Бахом. Особенно в его сонатах для несопровождаемой скрипки, а также в партии для несопровождаемой виолончели. Здесь Бах ухитряется получить две или более линии звучания, идущие одновременно. Иногда он (это при наличии только солирующего инструмента) использует так сказать "двойные аккорды" - две ноты непосредственно. Однако, в других случаях он вставляет один голос в мелодию, а другой в сопровождение так, что мы слышим их как две различные мелодии, переплетающиеся и гармонирующие друг с другом. Само собой разумеется, Бах не останавливается на этом уровне сложности… *

* К сожалению, "перевод" этого раздела - почти полнейшая галиматья. Если вы разбираетесь в музыкальной теории, то сразу это поймете. Если нет, то вам может показаться, что здесь скрыт смысл, который просто недоступен. Но это- иллюзия. Смысл оригинального текста для меня тоже остался неясен. Поэтому я соединил слова без особого беспокойства о содержании. Главное - чтобы красиво звучало. Если вы попались на эту уловку, то, возможно, утешитесь следующим наблюдением. Получилось, что обычно "солирующий" смысл почти исчез, но хорошо прорисованный "фон" убедил вас в существовании некой глубокомысленной "фигуры" Подобые иллюзии не редко встречаются в жизни. Особенно - в политике. . . Прим А. С.

Рекурсивно-счетные множества и рекурсивные множества

Теперь позвольте понятие фигуры и фона перенести обратно в область формальных систем. В нашем примере роль позитивного пространства сыграли теоремы C-типа, а роль отрицательного пространства сыграли цепочки с простым числом дефисов. Пока единственный путь, который мы нашли, чтобы представить простые числа типографским способом - представить их как негативное пространство. Но имеется ли( не зависимо от того насколько это сложно) способ представить простые числа как позитивное пространство? То есть можно ли найти все простые числа, как множество теорем некоторой формальной системы?

У разных людей разная интуиция и они подсказывает им различные ответы. Я очень ярко помню, как был удивлен и озадачен после того, как понял разницу между позитивным и негативным описанием. Я был весьма убежден, что не только простые числа, но и любое множество чисел, которое можно представлены как негатив, всегда можно представить и как позитив. Интуиция, лежащая в основе моей веры выражается вопросом: "Как могут фигура и фон не нести одну и ту же информацию?" Они, казалось мне, воплощают ту же самую информацию, только закодированную двумя дополняющими друг друга способами. Вы с этим согласны?

Оказывается, я был прав по поводу простых чисел, но был не прав вообще. Это удивило меня и продолжает удивлять даже сегодня. Но факт, что:

Существуют формальные системы, чье отрицательно пространств (множество не-теорем) не является позитивным пространством (множеством теорем) какой-либо формальной системы.

Этот результат, оказывается, имеет ту же глубину, что и Теорема Геделя. Поэтому не удивительно, что моя интуиция здесь не сработала. Я, так же как и математики начала XX века, ожидал от мир формальных систем и натуральные числа большей предсказуемости. Говоря техническим языком, получается:

Существуют рекурсивно-счетные множества, которые не рекурсивны.

Словосочетание рекурсивно-счетный (часть сокращаемое до "r.e.") - математический близнец нашему понятию "курсивно прорисованный", а понятие рекурсивный - близнец "рекурсивно прорисованный". Для некоторого множества цепочек, быть "r.e", означает, что оно может быть получено согласно типографским правилам. Таково, например, множество теорем C-типа и множество теорем MIU-системы. В действительности рекурсивно-счетным будет множество теорем любой формальной системы. Это можно представить по аналогии идеей "фигуры" как "множество линий, которые можно построить по законам изобразительного искусства" (и не важно, что эти линии могут означать!). Рекурсивное же множество подобно той фигуре, чей фон - тоже фигура. То есть рекурсивное множество не только "r.e." но и его дополнение тоже "r.e." *

* Здесь наша интуиция играет с нами злую шутку. Представьте себе троглика, который варкливо-чуватый. Теперь представьте троглика чуватого. Является ли всякий вакрвиво-чуватый троглик одновременно и чуватым? Естественно думать, что оба троглика варклиы но один из них еще и чуватый. То есть варкливо-чуватые трогличи есть разновидность варкливых трогликов вообще. Но вы ошиблись так же как, с рекурсивно-счетными и "просто" рекурсивными множествами. Все наоборот! Варкливо-чуватый не обязательно варкливый. Варкливые есть разновидность( подмножество) варкливо-чуватых! Почему? У трогликов так принято. И весь тут сказ! Прим. А. С.

Из вышеупомянутого результата следует:

Существуют формальные системы, для которых не существует никакой разрешающей процедуры реализуемой типографским способом.

Из чего это следует? Очень просто. Типографская разрешающая процедура - это метод, который отличает теоремы от не-теорем. Существование такого теста позволяет нам последовательно производить все не-теоремы. Для этого, двигаясь по списку всех цепочек, вы каждую испытываете разрешающей процедурой. По результату вы отбраковываете плохо формализованные цепочки и теоремы, оставляя одни не-теоремы. Описанная процедура соответствует типографскому методу получения множества не-теорем. Но согласно более раннему утверждению (которое мы здесь приняли на веру), для некоторых систем это невозможно. Поэтому, признав его, мы вынуждены заключить, что и типографские разрешающие процедуры существуют не для всех формальных систем.

Предположим, что мы нашли множество натуральных чисел F, ('F'- анг. "фигуры"), которое мы можем произвести некоторым формальным способом, на подобии множества составных чисел. Предположим, что его дополнение - множество G ('G'- англ. "основание", фон), на подобии простых чисел. Вместе множества F и G составляют множество натуральных чисел. Мы знаем правило, по которому мы можем получить все числа множества F. Но мы не знаем никакого подобного правила для получения всех чисел множества G. Важно понять, что если члены множества F всегда производятся в порядке увеличения размера, то мы всегда можем выделить и G как негатив. Но проблема в том, что многие "r.e." множества перечисляются методами, которые выдают свои элементы в произвольном порядке. Поэтому вы никогда не знаете, будет ли число, которое вы только что перескочили, получено когда-нибудь в будущем или нет, если вы подождите процесс какое-то время еще.*

* точно выяснить это можно только за бесконечный промежуток времени, но такая ситуация нам уже неприятно знакома. Прим. А. С.

Мы ответили "нет" на вопрос: "являются и все фигуры рекурсивными?" Мы теперь видим, что аналогично должны ответить и на подобный вопрос в математике: "Являются ли все множества рекурсивными?" С этой точки зрения давайте теперь вернуться к неуловимому термину "форма". Позвольте взять наше множество-форму F и множество-фору G. Мы можем согласиться что все числа в множестве F имеют некоторую общую "форму". Но можно ли тоже сказать относительно чисел множества G? Это странный вопрос. Когда мы имеем дело с бесконечными множествами, например с натуральными числами, то "дыры" созданные удалением некоторого подмножества, очень трудно определить некоторым явным способом. И может случиться так, что они не связаны друг с другом никаким общим признаком или "формой" вообще. В последнем случае вопрос вкуса хотите ли вы для такого понятия использовать термин "форма" или нет, но размышлять о нем как о некой форме - провокация. Быть может лучше не определять "форму" твердо, а оставить ее пластичной.*

* Давайте определим форму как контур, который смело можно закрасить некоторым цветом. Позитивные элементы однозначно имеют форму. По мере их обнаружения (перечисления) мы "обводим" их контуром и смело закрашиваем белым цветом. Но как поступать с негатиом?! Если мы знаем, что больше никогда не вернемся туда, где только что покрасили ВСЕ белые формы, то можно смело закрашивать черным и промежутки между ними. Негатив тоже приобретает форму (именно приобретает, процесс бесконечен, но в любой момент мы имеем "затвердевшую" часть формы, не подлежащую переделке). А если уверенности нет? Если в промежутке есть пока еще неизвестный позитив? А мы его закрасим черным?!… Значит, к закраске черных промежутков (получению негативной формы) мы сможем приступить только, когда определим ВСЕ белые формы. То есть спустя бесконечность… Прим. А.С,

Имеется головоломка, для размышления над вышеизложенными вопросами. Вы можете характеризовать следующую последовательность чисел (или их отрицательное пространство)?

1      3       7       12       18       26       35       45       56       69       .   .   .

Чем эта последовательность напоминает фигурно-фигурную фигуру?

Простые числа: проступают как фигура, а не фон

В конце концов, что с формальной системой для простых чисел? Как ее построить? Наша уловка должна обойти умножение и прямо перескочить к неделимости, как позитивно представленной сущности. Имеются схема аксиом и правило вывода для создания теорем, которые выражают представление, что одно число не делит ('DND' - 'does not divide') другое число.

Схема аксиом: xyDNDx, где х и у - разные цепочки дефисов (X не равно Y).

Например _ _ _ _ _ DND _ _ где x заменен на '_ _' , а у на ' _ _ _ '

Правило: Если xDNDу - теорема, то теорема и xDNDxy.

Если вы используете это правило дважды к приведенной выше аксиоме, то получите такую теорему:
_ _ _ _ _ DND _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Которая интерпретируется, как "5 не делит 12". Но _ _ _ DND _ _ _ _ _ _ не теорема. Что происходит не так, как надо, если вы попробуете получить ее?

Теперь чтобы определить, что данное число является простым, мы должны получить некоторое знание относительно его свойства неделимости. В частности мы хотим знать, что некоторое число не делимо ни на 2, ни на 3, ни на 4 и т. д. все до числа меньшего на 1 чем оно само. Но мы не можем быть столь неопределенны в формальных системах, чтобы говорить "и так далее". Мы должны разъяснить это. Мы хотели бы иметь способ высказать на языке системы "число Z свободно от делителей не больших X". что означает: никакое число от 2 до Х не делит Z. Это может быть сделано, но нужна уловка. Подумайте об этом, если хотите. Вот это решение:

Правило: если _ _ DNDz есть теорема, то и zDF_ _ тоже теорема.

Правило: если zDFx теорема, и x _ DNDz тоже теорема, то и zDFx _ теорема.

Эти два правила охватывают понятие неделимости. Все что мы теперь должны делать, это сказать, что простое число это такое, которые неделимы на число, меньшие на 1 чем оно само:

Правило: Если z_DFz теорема, то Рz _ тоже теорема.

Да! не стоит забывать что 2 - простое число!

Аксиома: P_ _

И так мы получили все что хотели. Формальное представление простых чисел. Иметься испытание на неделимость, которое может быть сделано без какого-либо отслеживания назад. Вы можете уверенно двигаться вверх, проверяя сначала неделимость на 2, затем на 3 и так далее. Это "монотонный" или "однонаправленный" процесс. Здесь нет необходимости во взаимной игре удлинение-сокращение. Нам нет нужды в попеременном увеличении и уменьшении длинны цепочек для того, чтобы выследить все простые числа. Но у формальных систем есть и такая возможность. И именно эта потенциальная возможность формальных систем непредсказуемо перемешивать предыдущее с последующим, в итоге влечет такие ограничивающие результаты как Теорема Геделя, Проблема Остановки Тьюринга и тот факт, что не все рекурсивно-счетные множества рекурсивны.

Вопросы? Предложения? Претензии?
Обсудить материал в моем ЖЖ