РИС. 49. М.К. Эшер. "День и ночь" (гравюра на дереве, 1938).

В сердце дуализма, согласно дзену, лежат слова - простые, обыкновен­ные слова. Использование слов всегда дуалистично - очевидно, что каждое слово представляет собой определенную умозрительную категорию. Отсюда следует, что большая часть дзена посвящена борьбе против доверия к словам. Одно из лучших оружий в этой борьбе - коан, поскольку со словами он обращается настолько неуважительно, что наш разум тут же забуксует, если мы попытаемся воспринимать коан серьезно. Может быть, неверно говорить, что врагом Просветления является логика; скорее, это дуалистичное, словесное мышление. Или даже еще проще, восприятие. Воспринимая предмет, вы тут же отграничиваете его от всего остального мира; вы делите мир на части и, таким образом, отходите от Пути.

Вот коан, демонстрирующий борьбу против слов:⁵

Коан:

Шузан протянул вперед свою короткую палку и сказал: "Если вы скажете, что это короткая палка, то согрешите против действительности. Если вы не скажете, что это короткая палка, то проигнорируете факт. Так что же вы скажете?"

Комментарий Мумона:

Если вы скажете, что это короткая палка, то согрешите против действительности. Если вы не скажете, что это короткая палка, то проигнорируете факт. Это нельзя выразить словами, и это нельзя выразить без слов. Теперь быстро говорите, что это такое.



Стихотворение Мумона:

Протягивая вперед короткую палку,
Он дал приказ о жизни и смерти.
Позитивное и негативное переплетены,
Даже Будды и патриархи не могут избежать этой атаки.

(Под "патриархами" здесь имеются в виду шесть почитаемых основателей дзен-буддизма, из которых первым был Бодхидхарма и шестым - Энон.)
Почему назвать это короткой палкой означало пойти против действительно­сти? Может быть, потому, что подобная категоризация дает иллюзию углубления в действительность, в то время как на самом деле это утверждение даже не поцарапало ее поверхности. Можно сравнить его с утверждением "5 - простое число." Это утверждение оставляет без внимания огромное, бесконечное количе­ство фактов. С другой стороны, не назвать ее короткой палкой - означает проигнорировать этот факт, как бы незначителен он не был. Следовательно, слова ведут к частичной истинности - и, возможно, к частичной ложности - но, безусловно, не к полной истине. Надеяться на слова, чтобы найти истину - все равно, что надеяться на неполную формальную систему, чтобы найти истину. Формальная система даст вам некоторые истины, но, как мы скоро увидим, фор­мальная система, какой бы мощью она не обладала, не может привести ко всем истинньцй высказываниям. Дилемма математиков такова: на что еще можно опи­раться, кроме формальных систем? Дилемма последователей дзена такова: на что еще можно опираться, кроме слов? Мумон выражает эту дилемму с предельной ясностью: "Это нельзя выразить словами, и это нельзя выразить без слов."

РИС. 50. М.К. Эшер. "Кожура" (гравюра на дереве, 1955).

Джошу спросил учителя Нансена: "Какой Путь правилен?"
Нансен ответил: "Правилен повседневный Путь".
Джошу спросил: "Могу ли я его изучать?"
Нансен ответил: "Чем больше вы его изучаете, тем больше вы удаляетесь от него".
Джошу спросил: "Если я не буду его изучать, как же я его узнаю?"
Нансен ответил: "Путь не принадлежит увиденным вещам и не принадлежит неувиденным вещам. Он не принадлежит известным вещам, и он не принадлежит неизвестным вещам. Не ищи его, не изучай его и не называй его. Чтобы оказаться на Пути, стань открытым и широким как небо." [См. рис. 50.]

Кажется, что это любопытное утверждение полно парадоксов. Оно немного напоминает следующее верное средство от икоты: "Обегите трижды вокруг дома, не думая о слове "волк"." Дзен-буддизм - это философия, которая, по-видимо­му, считает, что дорога к абсолютной истине, так же, как единственный верный способ против икоты, должна изобиловать парадоксами.


Изм, режим U и Унмон

Если слова - плохи, и мышление - плохо, то что же тогда хорошо? Разуме­ется, сам по себе такой вопрос весьма дуалистичен, но поскольку, обсуждая его, мы не претендуем на верность дзену, то попытаемся ответить на него серьезно. Назовем то, к чему стремится дзен, измом. Изм - это антифилософия, способ существования без мышления. Мастерами изма являются камни, деревья, мол­люски. Существам же, стоящим на более высокой ступени развития, приходит­ся за это бороться; при этом они никогда не достигнут полного изма. Все же нам иногда удается увидеть проблеск изма; возможно, следующий коан пока­жет вам такой проблеск:⁷

Хиакуйо захотел послать монаха, чтобы открыть новый монастырь. Он сказал ученикам, что назначит того из них, кто сумеет лучше всех ответить на его вопрос. Поставив кувшин с водой на землю, он сказал: "Кто может сказать, что это такое, не называя при этом его имени?"
Главный монах сказал: "Никто не может назвать это деревянным башмаком."
Повар Изан перевернул кувшин ногой и ушел.
Хиакуйо улыбнулся и сказал: "Главный монах проиграл." И Изан стал Масте­ром нового монастыря.

Сущность дзена - и изма - в том, чтобы подавить восприятие, подавить логическое, словесное, дуалистичное мышление. Это и есть режим U - Ульт­ра; не Интеллектуальный, не Механический, а просто "Ультра". Джошу действовал по способу U; поэтому его МУ "развопросило" вопрос. Для Мастера дзена Унмона способ U был естественным:⁸

Однажды Унмон сказал своим ученикам: "Моя палка превратилась в дракона и проглотила вселенную! Где же теперь реки, и горы, и великая Земля?"

Дзен - это холизм, доведенный до логической крайности. Если холизм (от английского - целое) утверждает, что вещи могут быть поняты только как целое, а не как сумма их частей, то дзен идет еще дальше, утверждая, что мир вообще не может быть разделен на части. Делить мир на части - это создавать иллюзии и терять возможность Просветления.

Один любопытный монах спросил Мастера : "Что такое Путь?"
"Он у тебя перед глазами", - ответил Мастер.
"Почему же я сам его не вижу?"
"Потому что ты думаешь о себе".
"А вы - вы его видите?"
"До тех пор, пока ты все представляешь в двойном свете, говоря "я вижу", "вы не
видите" и тому подобное, у тебя всегда будет туман перед глазами", - сказал Мастер.
"А когда не станет ни "Я" ни "Вы", его можно будет увидеть?"
"Когда не станет ни "Я" ни "Вы", кто будет тот, кто захочет его видеть?"⁹

По-видимому, Мастер хочет сказать, что в состоянии Просветления границы между "Я" и остальным миром стираются.
Это было бы настоящим концом дуализма, поскольку тогда, как сказал Мастер, не осталось бы системы, жаждущей восприятия. Но что это такое, если не смерть? Как может живое человеческое существо стереть границы между собой и миром?


Дзен и Лимбедламия

Буддистский монах Бассуи написал письмо одному из своих учеников, который был при смерти; в письме он сказал: "Твой конец - бесконечен; он подобен снежинке, таящей в чистом воздухе". Снежинка, бывшая вполне заметной под­системой, теперь растворяется в более широкой системе, когда-то ее содержав­шей. Хотя она больше и не присутствует как отдельная система, ее сущность все еще сохраняется. Она кружится в Лимбедламии, рядом с неначавшейся икотой и буквами непрочитанных историй... Так я понимаю письмо Бассуи.
Дзен признает свои ограничения, точно так же, как математики научи­лись признавать ограничения аксиоматического метода для нахождения исти­ны. Дзен не знает ответа на то, что лежит за его пределами, так же, как у математиков нет ясного понимания форм рассуждений, лежащих за пределами формализации. Одно из самых ясных утверждений дзена о его границах дано в следующем странном, весьма в духе Нансена, коане:¹⁰

Тозан сказал своим монахам: "Вы, монахи, должны знать, что в буддизме есть еще высшее понимание." Один монах вышел вперед и спросил: "Что такое высший буддизм?" Тозан ответил: "Это не Будда."

Путь не кончается никогда; Просветление не означает конца буддизма. Не суще­ствует рецепта, говорящего, как можно переступить пределы буддизма; един­ственное, в чем можно быть уверенным, это то, что Будда - не путь. Дзен - это система, и он не может быть своей собственной метасистемой; всегда есть что-то вне дзена, что не может быть полностью понято и описано в его терминах.

РИС. 51. М.К. Эшер. "Лужа" (гравюра на дереве, 1952).

Эшер и дзен

В своих сомнениях относительно восприятия и своей любви к абсурдным загад­кам без ответа дзен имеет единомышленника - М.К. Эшера. Взгляните на "День и ночь" (рис: 49) - шедевр "переплетения негативного и позитивного" (говоря словами Мумона). Читатель может спросить: "Что это такое на самом деле, птицы или поля? Что это, день или ночь?" Однако все мы знаем, что подобные вопросы задавать незачем. Эта картина, подобно буддистскому коа-ну, пытается разбить разум логики. Эшер также находит удовольствие в созда­нии противоречивых картин, таких, как "Иной мир" (рис. 48) - картин, кото­рые играют с реальностью и не-реальностью на манер дзена. Должны ли мы принимать Эшера всерьез? Должны ли мы принимать дзен всерьез?
Взгляните на изысканный, подобный хайку рисунок отражений в "Капле росы" (рис. 47), на спокойную луну, отраженную в тихой воде "Лужи" (рис. 51) и на "Рябь на воде" (рис. 52). Отражение луны - тема, встречающаяся в нескольких коанах. Вот лишь один пример:¹¹

Чионо изучала дзен многие годы под руководством Букко из Энгаку. Все же ей не удавалось достичь плодов медитации. Однажды лунной ночью она несла воду в старой деревянной бадье, опоясанной бамбуком. Бамбуковый обруч сломался, и дно бадьи выпало. В этот момент Чионо освободилась. Тогда она сказала: "Нет воды в ведре - нет и луны в воде."

"Три мира" - картина Эшера (рис. 46) и тема дзен-буддистского коана:¹²

Один монах спросил Ганто: "Чте мне делать, когда мне угрожают три мира?" Ганто ответил: "Садись". "Я не понимаю", - сказал монах. Ганто сказал: "Подними гору и принеси ее мне. Тогда я тебе объясню".

Гемиола и Эшер

В картине "Вербум" (рис. 149) противоположности превращены в единство на нескольких уровнях. Двигаясь по кругу, мы видим постепенные превращения черных птиц - в белых птиц - в белых рыб - в черных жаб - в белых жаб - в черных птиц ... После шести шагов мы оказались опять в начале! Не примирение ли это дихотомии белого и черного? Или "трихотомии" птиц, рыб и жаб? Или это - шестиступенчатое единство, сделанное из противопоставления четности двух и нечетности трех? В музыке шесть нот одинаковой длительнос­ти создают ритмическую двусмысленность: две группы по три ноты, или три группы по две? Эта двусмысленность имеет свое название: гемиола. Шопен был мастером гемиолы; см. его "Вальс" оп. 42, или "Этюд" оп. 25, номер 2. У Баха это "Темпо ди Менуетто" из клавишной партитуры номер 5 или удивительный финал соль минорной "Сонаты для скрипки соло".
Когда мы приближаемся к центру гравюры "Вербум", различия постепен­но стираются, и к концу остается не три, не две, но одна-единственная суть:
Вербум - слово, сверкающее во всем блеске, возможно, символ Просветления. Ирония в том, что "вербум" не только является словом, но и означает "слово"
- не слишком-то совместимое с дзеном понятие. С другой стороны, "вербум" - единственное слово в картине. Мастер дзена Тозан однажды сказал "Вся "Трипитака" может быть выражена в одной букве." ("Трипитака" или "Три кор­зины" - это полный текст священных книг буддизма.) Интересно, какой деко­дирующий механизм понадобился бы, чтобы извлечь три корзины из одной буквы? Может быть, механизм с двумя полушариями?

РИС. 52. М.К. Эшер. "Рябь на воде" (гравюра на линолеуме, 1950).



РИС. 53. М.К. Эшер. "Три сферы II" (литография, 1946).

Сеть Индры

Наконец, давайте взглянем на "Три сферы II"; кажется, что каждая часть мира здесь содержит все остальные и содержится в них сама: письменный стол отра­жает шары на его поверхности, шары отражают друг друга, а также стол, рису­нок, их изображающий, и самого художника. Эта литография лишь намекает на бесконечное взаимодействие всех вещей - однако этого намека вполне доста­точно. Буддистская аллегория "Сеть Индры" описывает бесконечную сеть, нити которой пронизывают всю вселенную: горизонтальные нити протянуты в про­странстве, вертикальные - во времени. Каждая точка пересечения - это ин­дивидуум, и каждый индивидуум - это стеклянная сфера. Великий свет "Аб­солютного существа" освещает каждую стеклянную сферу и проникает сквозь нее; более того, каждая сфера отражает не только свет каждой другой сферы в сети, но и каждое отражение каждого отражения во вселенной.
Этот образ напоминает мне о ренормализованных частицах: в каждом электроне заключены виртуальные фотоны, позитроны, нейтрино, муоны...; в каждом фотоне - виртуальные электроны, протоны, нейтроны, пионы...; в каж­дом пионе...
Затем на ум приходит другая картина: люди, каждый из которых отражен в голове многих других, которые, в свою очередь, отражены в уме кого-то дру­гого, и так далее.
Обе эти картины могут быть представлены коротко и элегантно с помо­щью Увеличенных Схем Перехода. В случае частиц, у нас будет отдельная схема для каждой категории частиц; в случае людей - отдельная схема для каждого человека. Каждая из них будет вызывать много других, таким образом создавая виртуальное облако УСП вокруг каждой УСП. Вызов одной из них приведет к вызову других, и этот процесс может идти как угодно долго, пока мы не достигнем поверхности.


Мумон о МУ

Завершим нашу короткую экскурсию в дзен еще одним обращением к Мумону. Вот его комментарий к МУ Джошу:¹³

Чтобы понять дзен, надо преодолеть барьер патриархов. Просветление всегда при­ходит после того, как преграждается дорога мысли. Если вы не преодолели барьера патриархов или если дорога вашей мысли не преграждена, то что бы вы не думали и что бы вы не делали, это будет лишь призрачная путаница. Вы можете спросить:
"Что такое барьер патриархов?" Это лишь одно слово: "МУ".
Это барьер дзена. Если вы его преодолеете, то встретитесь с Джошу лицом к лицу. Тогда вы сможете работать плечом к плечу со всеми патриархами. Не чудес­но ли это?
Если вы хотите преодолеть этот барьер, вы должны до мозга костей проник­нуться вопросом: "Что такое МУ?" и размышлять об этом день и ночь. Не думайте, что это - обычное отрицание и означает ничто. Это не пустота, не противополож­ность существованию. Если вы действительно хотите преодолеть этот барьер, вы должны чувствовать себя так, словно ваш рот наполнен расплавленным металлом, который вы не можете не проглотить, ни выплюнуть.
Тогда исчезнет ваше предыдущее, меньшее знание. Как плод зреет по осени, так ваша объективность и субъективность естественно сольются в одно. Это похо­же на немого, увидевшего сон: он знает о нем, но не может рассказать его.
Когда он достигнет этого состояния, скорлупа его эго разобьется и он сможет трясти небеса и двигать землю. Он станет подобен великому воину с острым мечом. Если Будда встанет на его дороге, он рассечет его своим мечом; если патриарх будет чинить ему препятствия, он убьет его; он будет свободен в своем рождении и смерти. Он сможет войти в любой мир, как в свой собственный дом. В этом коане я скажу вам, как этого добиться:
Сконцентрируйте всю вашу энергию на МУ и не отвлекайтесь ни на миг. Когда вы войдете в МУ, не позволяя себе останавливаться, вы станете словно свеча, своим пламенем освещающая всю вселенную.

От Мумона к головоломке MU

С головоломных высот МУ Джошу спустимся теперь к прозаическому MU Хофстадтера... Я знаю, что вы уже пробовали сконцентрировать на нем всю вашу энергию, когда вы читали главу I. Сейчас я отвечу на поставленный в ней вопрос:

Обладает ли MU природой теоремы?

Ответ на этот вопрос - не ускользающее MU, но полновесное НЕТ. Чтобы показать это, мы воспользуемся привилегиями дуалистического, логического мышления.

В главе I мы сделали два важных наблюдения:

(1) что сложность головоломки MU зависит от взаимодействия удлиняющих и укорачивающих правил;

(2) что тем не менее есть надежда решить эту задачу, пользуясь достаточно сложным орудием: теорией чисел.

В главе I мы не стали подробно анализировать головоломку MU с этой точки зрения; теперь пришло время это сделать. Скоро мы увидим, как второе наблю­дение (вынесенное за пределы незначительной системы MIU) стало одним из самых плодотворных открытий математики и как оно изменило взгляд матема­тиков на их предмет.

Для удобства я повторю здесь основные положения системы MIU:

СИМВОЛЫ: М, I, U.

АКСИОМА: MI

ПРАВИЛА:

I. Если хI - теорема, то xIU - также теорема.
II. Если Mx- теорема, то Mхх -также теорема.
III. В любой теореме III может быть заменено на U.
IV. UU может быть вычеркнуто из любой теоремы.

Мумон показывает нам, как решить головоломку MU

Согласно приведенным выше наблюдениям, MU - не более как головоломка о натуральных числах, одетая в типографский костюм. Переведя ее в область теории чисел, мы смогли бы найти ее решение. Давайте поразмыслим над сло­вами Мумона, сказавшего: "Если у кого-нибудь из вас - один глаз, тот заметит ошибку учителя." Но почему важно иметь именно один глаз?
Если вы попробуйте подсчитать количество I в теоремах, то вскоре заме­тите, что оно никогда не равняется 0. Иными словами, кажется, что сколько бы мы не удлиняли и не сокращали, нам никогда не удается избавиться от всех I. Будем называть количество I в каждой строчке величиной I данной строчки. Заметьте, что величина I аксиомы MI - 1. Можно доказать не толь­ко то, что величина I не может равняться 0, но и то, что величина I не может делиться на 3.
Для начала заметьте, что правила I и IV совершенно не затрагивают вели­чины I. Так что нам придется иметь дело только с правилами II и III. Правило III уменьшает величину I ровно на 3. После приложения этого правила величи­на I результата могла бы делиться на 3 - но только в том случае, если бы величина I изначальной строчки тоже делилась на 3. Короче, правило III никогда не создает числа, делящегося на 3, "из воздуха". Оно может сделать это лишь тогда, когда такое число уже имеется в начале. То же самое верно Для правила II, которое удваивает величину I. Это происходит потому, что, если 2n делится на 3, то, поскольку 2 не делится на 3, то на 3 должно делиться n (простой факт теории чисел). Ни правило II, ни правило III не могут создать делящегося на 3 числа из ничего.
Но это же ключ к головоломке MU! Мы знаем следующее:

(1) Величина I начинается с 1 (1 не делится на 3);

(2) Два правила вообще не влияют на величину I;

(3) Два оставшихся правила влияют на величину I, но таким образом, что они не могут создать делимое на 3 число, если таковое не дано в начале.

Отсюда следует типично "наследственное" заключение: величина I никогда не может стать делимой на 3. В частности, 0 - пример запрещенной величины I. Таким образом, MU не является теоремой системы MIU.
Обратите внимание, что даже в форме головоломки о величине I, эта проблема все еще усложнена игрой удлиняющих и укорачивающих правил. Нашей целью было прийти к нулю; величина I могла увеличиваться (правило II) или уменьшаться (правило III). До анализа ситуации мы могли считать, что применив эти два правила достаточное количество раз, когда-нибудь мы смогли бы получить 0. Теперь, благодаря простому доказательству теории чисел, мы знаем, что это невозможно.


Гёделева нумерация для системы MIU

Не все проблемы подобного типа решаются так легко. Однако мы видели, что по крайней мере одна такая головоломка может быть введена в теорию чисел и решена там. Теперь мы увидим, что в теорию чисел возможно включить все проблемы о любой формальной системе. Это возможно сделать благодаря от­крытию Гёделем специального типа изоморфизма. Я проиллюстрирую его на примере системы MIU.
Рассмотрим для начала нотацию этой системы. Каждому ее символу бу­дет соответствовать новый символ:

М <==> 3
I <==> 1
U <==> 0

Это соответствие - вполне произвольно; я выбрал его потому, что эти символы слегка похожи на те, которым они соответствуют. Каждый номер называется Гделев номер соответствующей буквы. Уверен, что вы можете легко догадаться, как будет выглядеть Гёделев номер строчки из нескольких букв:

MU <==> 30
MIIU <==> 3110

и т. д.

Это нетрудно. Ясно, что такое соответствие между двумя нотациями является превращением, сохраняющим информацию; это все равно, что одна и та же мелодия, исполненная на двух разных инструментах.
Теперь давайте посмотрим на типичную деривацию системы MIU, запи­санную одновременно в двух нотациях:

(1)            MI --  аксиома    -- 31
(2)           МII -- правило II  -- 311
(3)         MIIII -- правило II  -- 31111
(4)           MUI -- правило III -- 301
(5)          MUIU -  правило I   -- 3010
(6)       MUIUUIU -- правило II  -- 3010010
(7)         MUIIU -  правило IV  -- 30110

Левая колонка получается при помощи наших четырех формальных типограф­ских правил. О правой колонке можно сказать, что она также получилась в результате применения подобных правил. Однако правая колонка - дуалистична. Сейчас я объясню, чти это означает.


Восприятие вещей одновременно с типографской
и с арифметической точки зрения

О пятой строчке ("3010") можно сказать, что она была сделана из четвертой добавлением "0" справа; с другой стороны, мы можем так же легко представить себе, что она была получена в результате арифметической операции - а именно, умножения на 10. Когда натуральные числа записаны в десятичной системе, умножение на 10 и добавление справа "0" неотличимы друг от друга. Мы можем воспользоваться этим и записать арифметическое правило, соот­ветствующее типографскому правилу I:

АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРАВИЛО Iа: Число, десятичное продолжение которого оканчивается справа на "1", может быть умножено на 10.

Мы можем избавиться от упоминания символов в десятичном продолжении, арифметически описав правую цифру:

АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРАВИЛО Ib: Если при делении некоего числа на 10 в остатке получается "1", то это число может быть умножено на 10.

Можно было бы воспользоваться и чисто типографским правилом, как, напри­мер, следующее:

ТИПОГРАФСКОЕ ПРАВИЛО I: Из любой теоремы, которая кончается на "1", можно получить новую теорему, добавляя "0" справа от этой "1".

Все эти правила дают одинаковый эффект. Именно поэтому правая колонка дуалистична: ее можно рассматривать как серию типографских операций, пре­вращающих одну схему символов в другую, или как серию арифметичесих операций, превращающих одну величину в другую. Существуют веские причи­ны к тому, чтобы больше интересоваться арифметической версией. Переход из одной чисто типографской системы в другую, изоморфную типографскую сис­тему - это не слишком занимательно; с другой стороны, переход из типограф­ской области в изоморфную ей часть теории чисел предоставляет интересные, ранее неиспользованные возможности. Словно кто-то всю жизнь имел дело только с нотной записью, и вдруг ему показали соответствие между нотами и звуками. Какой удивительное богатство открылось перед ним! Или, возвраща­ясь к Ахиллу и Черепахе, играющим с цепочками, представьте себе человека, который хорошо знаком с фигурами из цепочек, и которому вдруг открылось соответствие между цепочками и рассказами. Какое откровение! Открытие Геделевой нумерации сравнивают с открытием Декарта, установившего изомор­физм между линиями на плоскости и уравнениями с двумя переменными. Это кажется невероятно просто - но это открывает дорогу в огромный новый мир.
Однако прежде чем придти к заключению, давайте рассмотрим подробнее этот высший уровень изоморфизма. Это очень хорошее упражнение. Наша цель - придумать арифметические правила, действующие точно так же, как типог­рафские правила системы MIU.
Ниже приведено решение. В этих правилах m и k - произвольные нату­ральные числа, и n - любое натуральное число, меньшее 10m.

ПРАВИЛО 1: Если мы получили 10m + 1, то мы можем получить 10 * (10m + 1).

Пример: Переход от строчки 4 к строчке 5. Здесь m = 30

ПРАВИЛО 2: Если мы получили 3 * 10 ^m + n, то мы можем получить 10 ^m * (3 * 10 ^m + n) + n

Пример: Переход от строчки 1 к строчке 2, где n и m равняются 2.

ПРАВИЛО 3: Если мы получили k *10 ^m+3 + 111 * 10^m + n, то мы можем получить k * 10 ^m+1 + n.

Пример: Переход от строчки 3 к строчке 4. Здесь m и n равняются 1 и k равняется 3.

ПРАВИЛО 4: Если мы получили k * 10^{m +2} + n, то мы можем получить k * 10 ^m + n.

Пример: Переход от строчки 6 к строчке 7. Здесь m= 2, n=10 и k= 301.

Не следует забывать нашу аксиому! Без нее мы как без рук, так что давайте запишем постулат.

Мы можем получить 31.

Теперь правую колонку можно рассматривать как арифметический процесс в новой арифметической системе, которую мы назовем системой 310:

(1)         31       аксиома 
(2)        311       правило 2 (m = 1, n = 1)
(3)      31111       правило 2 (m = 2, n = 11)
(4)        301       правило 3 (m = 1, n = 1, k = 3)
(5)       3О10       правило 1 (m = 30)
(6)    3010010       правило 2 (m = 3, n = 10)
(7)      30110       правило 4 (m = 2, n = 10, k = 301)

Обратите внимание на то, что удлиняющие и укорачивающие правила снова с нами и в системе 301; они просто переведены в область чисел таким образом, что Гёделевы номера в системе возрастают и уменьшаются. Если вы посмотрите внимательно на то, что происходит, то увидите, что правила основаны на про­стой идее, а именно: сдвиг цифр направо и налево в десятичной записи чисел имеет отношение к умножению на степени числа 10. Это простое наблюдение обобщено в следующем центральном предложении:

ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ: Если у нас имеется некоторое прави­ло, говорящее нам, как определенные цифры могут быть передвинуты, заменены, добавлены или опущены в в десятичной записи любого числа, то это правило также может быть представлено соответствующим ариф­метическим правилом при помощи арифметических операций со степеня­ми числа 10, а также сложения, вычитания и так далее.



Или короче:

Типографские правила манипуляции с символами чисел эквивалентны арифметическим правилам операций с числами.

Это простое наблюдение находится в самом сердце Гёделева метода; оно будет иметь совершенно потрясающий эффект. Оно говорит нам, что если у нас есть Гёделева нумерация для любой формальной системы, мы можем тут же полу­чить набор арифметических правил, дополняющих Гёделев изоморфизм. В ре­зультате оказывается возможным перевести изучение любой формальной сис­темы - на самом деле, всех формальных систем - в область теории чисел.


Числа, выводимые в MIU

Подобно тому, как набор типографских правил порождает набор теорем, в ре­зультате повторного применения арифметических правил получается соответ­ствующее множество натуральных чисел. Эти выводимые числа играют ту же роль в теории чисел, как теоремы - в любой формальной системе. Разумеется, набор выводимых чисел изменяется в зависимости от принятых правил. "Выво­димые числа" выводимы только относительно данной системы арифмети­ческих правил. Например, такие числа как 31, 3010010, 31111 и так далее могут быть названы выводимыми в системе MIU. Это неуклюжее название можно сократить до чисел MIU; оно символизирует тот факт, что эти числа - резуль­тат перевода системы MIU в теорию чисел при помощи Гёделевой нумерации. Если бы мы захотели приложить Гёделеву нумерацию к системе рr и затем "арифметизировать" ее правила, мы могли бы называть полученные числа "чис­лами pr" - и так далее.
Заметьте, что выводимые числа (в любой данной системе) определяются рекурсивным методом: нам даны числа, о которых мы знаем, что они выводимы, и набор правил, объясняющих, как получить другие выводимые числа. Таким образом, класс выводимых чисел постоянно расширяется, подобно списку чисел Фибоначчи или чисел Q. Множество выводимых чисел любой системы - это рекурсивно счетное множество. А как насчет его дополнения - множества невыводимых чисел? Имеют ли они какую-либо общую арифметическую черту?
Подобные вопросы возникают тогда, когда изучение формальных систем переносится в область теории множеств. О каждой арифметизированной системе можно спросить: "Возможно охарактеризовать выводимые числа каким-либо про­стым способом?" "Возможно ли охарактеризовать невыводимые числа рекурсив­но счетным способом?" Эти вопросы теории чисел весьма непросты, и, в зависи­мости от арифметизированной системы, могут оказаться для нас слишком труд­ными. Если и есть надежда найти на них ответ, то она лежит в методических логических рассуждениях, подобных тем, что обычно используются для изучения натуральных чисел. Суть этих рассуждений была изложена в предыдущей главе. По всей видимости, в ТТЧ нам удалось полностью представить все математичес­кие рассуждения в одной единственной компактной системе.


ТТЧ помогает ответить на вопросы
о выводимых числах

Значит ли это, что одна-единственная формальная система - ТТЧ - предос­тавляет нам способ ответить на любой вопрос о любой формальной системе? Возможно. Возьмем например, такой вопрос:

Является ли MU теоремой системы MIU?

Найти ответ на этот вопрос означало бы определить, является ли 30 числом MIU. Поскольку это утверждение - высказывание теории чисел, мы должны надеяться, что при достаточном усилии нам удастся перевести высказывание "30 - число MIU" в нотацию ТТЧ, точно так же, как нам удалось перевести на язык ТТЧ другие высказывания теории чисел. Должен сразу предупредить чи­тателя, что, хотя подобный перевод существует, он невероятно сложен. Если вы помните, в главе VIII я говорил, что даже такой простой арифметический преди­кат как "b - степень 10" весьма непросто перевести в ТТЧ; предикат же "30 - число MIU" перевести еще гораздо сложнее! Все же этот, перевод можно найти, и число SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSO может быть подставлено в него вместо любого b. Результатом явилась бы МОНструозная строчка ТТЧ, говорящая о головоломке MU. Сдается мне, что подходящим названием для этой строчки было бы МУМОН. С помощью МУМОНа и подобных строчек ТТЧ теперь способна говорить в закодированной форме о системе MIU.

Дуалистическая природа МУМОНа

Чтобы извлечь какую-либо пользу из этой странной трансформации нашего первоначального вопроса, нам необходимо ответить еще на один вопрос:


Является ли МУМОН теоремой ТТЧ?

До сих пор мы всего лишь заменили короткую строчку (MU) на другую (монст­руозный МУМОН) и простую формальную систему (MIU) - на более слож­ную (ТТЧ). Хотя мы перефразировали, вопрос, маловероятно, что это прибли­зило нас к ответу. Действительно, в ТТЧ есть такая куча укорачивающих и удлиняющих правил, что перифраз вопроса, скорее всего, окажется гораздо труднее оригинала. Некоторые читатели, пожалуй, могли бы сказать, что ана­лизировать MU пои помощи МУМОНа - значит нарочно смотреть на вещи по-дурацки. Однако МУМОНа можно рассматривать более, чем на одном уровне.
Интересно то, что в МУМОНе есть два различных пассивных значения. Во-первых, приведенное выше:

30 - число MIU.

Во-вторых, мы знаем, что это высказывание изоморфно следующему:

MU - теорема системы MIU.

Следовательно, мы имеем право утверждать, что последнее высказывание - вто­рое пассивное значение МУМОНа. Это может показаться странным, поскольку МУМОН состоит всего лишь из плюсов, скобок и тому подобных символов ТТЧ. Как же он может выражать что-либо, кроме арифметических высказываний?
На самом деле, это возможно. Так же, как одна единственная музыкаль­ная строчка может заключать в себе гармонию и медодию, как слово ВАСН может быть прочитано как имя и как мелодия, как одно и то же словосочетание может быть аккуратным описанием картины Эшера, структуры ДНК, произве­дения Баха или Диалога под тем же названием, МУМОН может быть понят, по крайней мере, двояко. Это происходит благодаря следующим фактам:

Факт 1. Высказывания типа "MU - теорема" могут быть закодированы в теории чисел при помощи Гёделевой нумерации.

Факт 2. Высказывания теории чисел могут быть переведены в ТТЧ.

Можно сказать, что (согласно Факту 1) МУМОН - это закодированное сообще­ние, в котором (согласно Факту 2) символы кода- не более, чем символы ТТЧ.


Коды и неявное значение

Вы можете возразить, что закодированное сообщение, в отличие от незакодиро­ванного, само по себе ничего не выражает - чтобы его понять, необходимо знать код. Однако на самом деле незакодированных сообщений не существует. Просто одни сообщения написаны на более знакомых кодах, а другие - на менее знакомых. Чтобы раскрыть значение сообщения, его необходимо "из­влечь" из кода при помощи некоего механизма, или изоморфизма. Иногда от­крыть метод дешифровки бывает трудно, но, как только этот метод раскрыт, сообщение становится прозрачным, как стекло. Когда код становится достаточ­но знакомым, он перестает выглядеть как таковой, и мы забываем о существо­вании декодирующего механизма. Сообщение сливается со значением.
Здесь мы сталкиваемся со случаем такого полного отождествления сооб­щения со значением, что мы с трудом можем вообразить, что данные символы могут иметь какое-то иное значение. Мы настолько привыкли считать, что сим­волы ТТЧ придают строчкам этой системы теоретико-числовое значение (и толь­ко теоретико-числовое), что нам бывает трудно представить, что некоторые строч­ки ТТЧ могут быть интерпретированы, как высказывания о системе MIU. Одна­ко Гёделев изоморфизм заставляет нас признать этот второй уровень значения у некоторых строчек ТТЧ.
МУМОН, декодированный в более знакомом нам виде, сообщает, что

30 - число MIU.

Это высказывание теории чисел, полученное при интерпретации каждого знака обычным путем.
Открыв Гёделеву нумерацию и построенный на ее основе изоморфизм, мы в каком-то смысле расшифровали код, на котором высказывания о системе MIU записаны при помощи строчек ТТЧ. Гёделев изоморфизм - это новый обнару­житель информации, в том же смысле, как дешифровки старинных текстов были обнаружителями заложенной в этих текстах информации.
Декодированное этим новым и менее знакомым нам способом, МУМОН сообщает, что

MU - теорема системы MIU.

Мораль этой истории мы уже слышали: любой узнанный нами изоморфизм автоматически порождает значение; следовательно, у МУМОНа есть по край­ней мере два пассивных значения, а может быть, и больше!


Бумеранг - Гёделева нумерация ТТЧ

Разумеется, это еще не конец; мы только начали открывать возможности Гёде­лева изоморфизма. Естественным трюком было бы использовать возможность ТТЧ отображать другие формальные системы на себя саму, на манер того, как Черепаха повернула патефоны Краба против их самих, или как Бокал Г атако­вал сам себя, разбившись. Чтобы это сделать, мы должны приложить Гёделеву нумерацию к самой ТТЧ, так же, как мы это 'сделали с системой MIU, и затем "арифметизировать" правила вывода. Это совсем нетрудно. Например, мы мо­жем установить следующее соответствие:

Символ    Кодон   Мнемоническое обоснование

0 ....... 666     Число Зверя для Таинственного Нуля
S ....... 123     последовательность: 1, 2, З...
= ....... 111     зрительное сходство, в повернутом виде
+ ....... 112     1+1=2
* ....... 236     2*3=6
( ....... 362     кончается на 2 \
) ....... 323     кончается на 3  |   эти
< ....... 212     кончается на 2  |   три пары
> ....... 213     кончается на 3  |   формируют
[ ....... 312     кончается на 2  |   схему
] ....... 313     кончается на 3 /
а ....... 262	   противоположно A (626)
' ....... 163	   163-простое число
/\ ...... 161	   "/\"-"график" последовательности 1-6-1"
\/ ...... 616	   "\/"-"график" последовательности 6-1-6
 ...... 633	   в некотором роде, из 6 следуют 3 и 3
~ ....... 223     2+2 не 3
E ....... 333     "E" выглядит как "3"
A ....... 626     противоположно "A"- также "график" 6-2-6
: ....... 636	   две точки, две шестерки 
пунк .... 611	   особенное число (именно потому, 
                  что в нем нет ничего особенного)

Каждый символ ТТЧ соотнесен с трехзначным числом, составленным из цифр 1, 2, 3 и 6 таким образом, чтобы его было легче запомнить. Каждое такое трехзнач­ное число я буду называть Геделев кодоном, или, для краткости, кодоном. Заметьте, что для b. с, d или е кодонов не дано, поскольку мы используем здесь строгую версию ТТЧ. Для этого есть причина, которую вы узнаете в главе XVI. Последняя строчка, "пунктуация", будет объяснена в главе XIV.

Теперь мы можем представить любую строчку или правило ТТЧ в новом наряде. Вот, например, Аксиома 1 в двух нотациях, новая над старой:

                626, 262, 636, 223, 123, 262, 111, 666 
                 A    a    :    ~    S    a    =    0

Обычная условность - использование пунктуации после каждых трех цифр - очень кстати совпала с нашими кодонами, облегчая их чтение.

Вот Правило Отделения в новой записи:

ПРАВИЛО: Если х и 212x633y213 являются теоремами, то у - также теорема.

Наконец, вот целая деривация, взятая из предыдущей главы; она дана в строгой версии ТТЧ и записана в новой нотации:

626,262,636,626.262,163,636,362,262,112,123,262,163,323,111,123,362,262,112,262,163,323 аксиома 3
 A   a   :   A   a   '   :   (   a   +   S   a   '   )   =   S  (   a   +   a   '   )
626,262,163,636,362,123,666,112,123,262,163,323,111,123,362,123,666,112,262,163,323 спецификация
 A   a   '   :   (   S   0   +   S   a   '   )   =   S   (   S   0   +   a   '   )
362,123,666,112,123,666,323,111,123,362,123,666,112,666,323                         спецификация
 (   S   0   +   S   0   )   =   S   (   S   0   +   0   )
626,262,636,362,262,112,666,323.111.262                                                аксиома 2
 A   а   :   (   а   +   0   )   =   а      
362,123,666,112,666,323,111,123,666                                                 спецификация
 (   S   0   +   0   )   =   S   O    
123,362,123,666.112,666,323,111,123,123,666                                        добавить "123"
 S   (   S   0   +   0   )   =   S    S  О
362,123,666,112,123,666,323,111,123,123,666                                        транзитивность
 (   S   O   +   S   O   )   =   S   S   O

Обратите внимание, что я изменил название правила "добавить S" на "добавить "123", поскольку данное правило узаконивает именно эту типографскую операцию.
Новая нотация кажется весьма странной. Вы теряете всякое ощущение значения; однако, если потренироваться, вы сможете читать строчки в этой нотации так же легко, как вы читали строчки ТТЧ. Вы сможете отличать пра­вильно сформированные формулы от неправильных с первого взгляда. Естественно, поскольку это настолько наглядно, вы будете думать об этом, как о типографской операции - но в то же время выбор правильно сформированных формул в этой нотации эквивалентен выбору определенного класса чисел, у которых есть также арифметическое определение.
А как же насчет "арифметизации" всех правил вывода? Они все еще остаются типографскими. Но погодите минутку! Согласно Центральному Пред­ложению, типографское правило - все равно, что арифметическое правило. Ввод и перестановка цифр в числах десятичной записи - это арифметичес­кая операция, которая может быть осуществлена типографским путем. Подоб­но тому, как добавление "О" справа от числа эквивалентно умножению этого числа на 10, каждое правило представляет собой компактное описание длин­ного и сложного арифметического действия. Таким образом, нам не придется искать эквивалентных арифметических правил, поскольку все правила уже арифметические!


Числа ТТЧ: рекурсивно счетное множество чисел

С такой точки зрения, приведенная выше деривация теоремы "362,123,666,112,123,666,323,111,123,123,666" представляет собой последователь­ность весьма сложных теоретико-численных трансформаций, каждая из кото­рых действует на одно или более данных чисел. Результатом этих трансформа­ций является, как и ранее, выводимое число, или, более точно, число ТТЧ. Некоторые арифметические правила берут старое число ТТЧ и увеличивают его определенным образом, чтобы получить новое число ТТЧ; некоторые умень­шают старое число ТТЧ; другие правила берут два числа ТТЧ, воздействуют на них определенным образом и комбинируют результаты, получая новое чис­ло ТТЧ - и так далее, и тому подобное. Вместо того, чтобы начинать с одного известного числа ТТЧ, мы начинаем с пяти - одно для каждой аксиомы (в строгой нотации). На самом деле, арифметизированная ТТЧ очень похожа на арифметизированную систему MIU - только в ней больше аксиом и правил, и запись точных арифметических эквивалентов была бы титаническим и совер­шенно "непросветляющим" трудом. Если вы внимательно следили за тем, как это было сделано для системы MIU, у вас должно быть сомнений в том, что здесь это делается совершенно аналогично.
Эта "гёделизация" ТТЧ порождает новый теоретико-числовой предикат:

а - число ТТЧ.

Например, мы знаем из предыдущей деривации, что 362,123,666,112,123,666,323,111,123,123,666 является числом ТТЧ, в то время как число 123,666,111,666 числом ТТЧ предположительно не является.
Оказывается, что этот новый теоретико-численный предикат можно выразить некоей строчкой ТТЧ с одной свободной переменной - скажем, а. Мы могли бы поставить тильду впереди, и эта строчка выражала бы дополняющее понятие:

а - не число ТТЧ.

Теперь давайте заменим все а в этой второй строчке на символ числа ТТЧ для 123,666,111,666 - символ, содержащий ровно 123,666,111,666 S и слишком длинный, чтобы его здесь записывать. У нас получится строчка ТТЧ, которая, подобно МУМОНу, может быть интерпретирована на двух уровнях. Во-первых, она будет означать

123,666,111,666 - не число ТТЧ.

Но, благодаря изоморфизму, связывающему числа, ТТЧ с теоремами ТТЧ, у этой строчки есть и второе значение:

S0=0 не теорема ТТЧ.

ТТЧ пытается проглотить саму себя

Это неожиданно двусмысленное толкование показывает, что ТТЧ содержит строч­ки, говорящие о других строчках ТТЧ. Иными словами, метаязык, на котором мы можем говорить о ТТЧ, берет начало, хотя бы частично, внутри самой ТТЧ. И это не случайность; дело в том, что архитектура любой формальной системы может быть отражена в Ч (теории чисел). Это такая же неизбежная черта ТТЧ, как колебания, вызываемые в патефоне, проигрываемой на нем пластинкой. Кажется, что колебания должны вызываться внешними причинами, - напри­мер, прыжками детей или ударами мяча; но побочный - и неизбежный - эффект произведения звуков заключается в том, что они заставляют колебаться сам механизм, их порождающий. Это не случайность, а закономерный и неиз­бежный побочный эффект. Он свойствен самой природе патефонов. И так же самой природе любой формализации теории чисел свойственно то, что ее мета­язык содержится в ней самой.
Мы можем почтить это наблюдение, назвав его Центральной Догмой Математической Логики и изобразив его на двухступенчатой диаграмме.

ТТЧ ==> Ч ==> мета-ТТЧ

Иными словами, у строчки ТТЧ есть интерпретация в Ч, а у высказывания Ч может быть второе значение - оно может быть понято как высказывание о ТТЧ.


G: строчка, говорящая о себе самой на коде

Эти интересные факты - только половина истории. Другая половина - интен­сификация автореференции. Мы сейчас находимся в положении Черепахи, ког­да она обнаружила, что можно создать пластинку, разбивающую проигрываю­щий ее патефон. Вопрос только в том, какую именно запись надо ставить на данный патефон. Выяснить это непросто.
Для этого нужно найти строчку ТТЧ - мы будем называть ее "G" - которая говорит о себе самой, в том смысле, что-одно из ее пассивных значений - это высказывание о G.
В частности, этим пассивным значением окажется

"G- не теорема ТТЧ"

Я должен добавить, что у G есть и другое пассивное значение, являющееся высказыванием теории чисел; подобно тому, как МУМОН мог быть интер­претирован двояко. Важно то, что каждое пассивное значение - действительно и полезно, и никоим образом не бросает тень сомнения на второе значение. (Тот факт, что играющий патефон может вызывать колебания в самом себе и в пластинке, не отрицает того, что эти колебания - музыкальные звуки!)


В неполноте ТТЧ виновато существование G

Об изобретательном методе создания G и о некоторых важных понятиях ТТЧ мы поговорим в главах XIII и XIV; пока же давайте заглянем вперед и постара­емся увидеть, какие последствия будет иметь нахождение автореферентной часта ТТЧ. Кто знает - может быть, это будет подобно взрыву! В некотором роде, это так и есть. Как вы думаете,

Является ли G теоремой ТТЧ, или нет?

Постарайтесь сформировать собственное мнение по этому поводу, не опираясь на мнение G о себе самой. В конце концов, G может понимать себя не лучше, чем понимает себя какой-нибудь мастер дзен-буддизма. Подобно МУМОНу, G может быть ложным утверждением. Подобно MU, G может быть не-теоремой. Мы не обязаны верить в любую возможную строчку ТТЧ, а только в ее теоре­мы. Давайте используем наше умение рассуждать логически и постараемся разъяснить этот вопрос.
Предположим, как обычно, что ТТЧ включает правильные методы рассужде- • ния и что, следовательно, ложные утверждения не могут являться ее теоремами. Иными словами, любая теорема ТТЧ выражает истину. Таким образом, если бы строчка G была теоремой, она выражала бы истину, а именно: "G - не теорема." Вся сила ее автореферентности видна здесь в действии. Будучи теоремой, G долж­на быть ложна. Опираясь на наше предположение, что ТТЧ не имеет ложных теорем, мы должны теперь заключить, что G - не теорема. Это не так страшно, но оставляет нас с меньшей проблемой. Зная, что G - не теорема, мы должны согласиться с тем, что она выражает истину... В этой ситуации ТТЧ не оправдывает наших ожиданий - мы нашли строчку, выражающую истинное высказывание, которая в то же время не является теоремой! И, как бы мы не удивлялись, мы не должны упускать из виду тот факт, что у G есть также и арифметическая интер­претация. Это позволяет нам подвести итог нашим наблюдениям:

Найдена такая строчка ТТЧ, которая является недвусмысленным высказыванием о некоторых арифметических свойствах натуральных чисел; более того, рассуждая вне системы, мы можем определить не только то, что это высказывание истинно, но и то, что эта строчка не является теоремой ТТЧ. Таким образом, если мы спросим у ТТЧ, истинно ли это высказывание, она не сможет ответить ни да, ни нет.

Аналогична ли G Черепашья цепочка в "Приношении MU"? Не совсем. Анало­гией с Черепашьей цепочкой будет ~G. Почему это так? Давайте подумаем! Что говорит ~G? Она должна утверждать обратное строчке G. G говорит: "G - не теорема ТТЧ"; следовательно, ~G должно читаться "G - теорема ТТЧ". Мы можем перефразировать обе эти строчки следующим образом:

G: "Я не теорема (ТТЧ)"
~G: "Мое отрицание - теорема (ТТЧ)"

Именно ~G параллельна Черепашьей цепочке, так как она говорит не о себе самой, но о той цепочке, что Черепаха дала Ахиллу сначала - цепочке, на которой была завязана дополнительная неточка (или на одну неточку меньше, чем надо - это зависит от точки зрения).


Последнее слово - за Мумоном

В своем коротком стихотворении о MU Джошу, Мумон проник в Мистерию Ультранеразрешимости глубже всех:

Есть ли у собаки природа Будды?
Это самый серьезный вопрос из всех.
Если вы ответите да или нет,
Вы утратите собственную природу Будды.

Вопросы? Предложения? Претензии?
Обсудить материал в моем ЖЖ